Analisis Jumlah Nilai x yang Memenuhi Persamaan Eksponensial

Dalam matematika, menemukan solusi untuk persamaan yang melibatkan eksponen sering kali memerlukan teknik substitusi dan pemahaman mendalam tentang sifat-sifat logaritma dan bilangan real. Kali ini, kita akan berfokus pada penyelesaian persamaan yang diberikan:

Persamaan Target: $$2^{4x} - 5 \cdot 2^{2x} + 2 = 0$$

Tujuan kita adalah menentukan jumlah $x$ yang memenuhi persamaan tersebut dalam domain bilangan real. Persamaan ini terlihat rumit pada pandangan pertama karena variabel $x$ berada di eksponen, tetapi struktur eksponennya mengindikasikan bahwa ini dapat diubah menjadi persamaan kuadrat standar melalui substitusi yang tepat.

Langkah 1: Mengidentifikasi Struktur Eksponensial

Perhatikan bagaimana suku-suku dalam persamaan berhubungan. Kita memiliki $2^{4x}$ dan $2^{2x}$. Kita bisa menggunakan sifat eksponen $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Kita tahu bahwa $2^{4x} = 2^{2 \cdot 2x} = (2^{2x})^2$.

Dengan substitusi ini, persamaan awal dapat ditulis ulang sebagai: $$(2^{2x})^2 - 5 \cdot (2^{2x}) + 2 = 0$$

Langkah 2: Melakukan Substitusi Variabel

Untuk mempermudah manipulasi aljabar, kita definisikan variabel baru. Misalkan $u = 2^{2x}$. Karena $2$ adalah bilangan positif, maka nilai $u$ harus selalu positif ($u > 0$).

Substitusi $u$ ke dalam persamaan menghasilkan persamaan kuadrat dalam variabel $u$:

$$u^2 - 5u + 2 = 0$$

Langkah 3: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat untuk $u$

Kita gunakan rumus kuadratik untuk mencari nilai $u$, di mana $a=1$, $b=-5$, dan $c=2$:

$$u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$u = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}$$ $$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2}$$ $$u = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$$

Kita mendapatkan dua kandidat solusi untuk $u$:

$u_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$
$u_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$

Langkah 4: Memverifikasi Kondisi $u > 0$

Langkah krusial dalam persamaan eksponensial adalah memastikan bahwa nilai substitusi (dalam kasus ini $u$) memenuhi batasan asalnya. Karena $u = 2^{2x}$, maka $u$ harus positif.

Verifikasi $u_1$: $\sqrt{17}$ kira-kira $4.12$. Maka $u_1 = (5 + 4.12)/2 \approx 4.56$. Jelas $u_1 > 0$.
Verifikasi $u_2$: $u_2 = (5 - 4.12)/2 \approx 0.44$. Jelas $u_2 > 0$.

Kedua nilai $u$ valid dan akan menghasilkan solusi $x$ yang riil.

Langkah 5: Mencari Nilai $x$ Kembali (Substitusi Balik)

Kita kembali ke hubungan $u = 2^{2x}$, yang dapat ditulis ulang sebagai $2x = \log_2(u)$, atau $x = \frac{1}{2} \log_2(u)$.

Solusi dari $u_1$:

$$2x_1 = \log_2 \left( \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \right)$$ $$x_1 = \frac{1}{2} \log_2 \left( \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \right)$$

Solusi dari $u_2$:

$$2x_2 = \log_2 \left( \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \right)$$ $$x_2 = \frac{1}{2} \log_2 \left( \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \right)$$

Karena kedua nilai $u$ adalah positif dan berbeda, keduanya menghasilkan nilai $x$ yang unik dan berbeda.

Kesimpulan: Jumlah Nilai $x$ yang Memenuhi

Setiap solusi $u$ yang valid menghasilkan satu solusi $x$ yang unik. Karena kita menemukan dua nilai $u$ yang berbeda ($u_1$ dan $u_2$), keduanya menghasilkan dua nilai $x$ yang berbeda ($x_1$ dan $x_2$). Oleh karena itu, jumlah nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponensial tersebut adalah 2.

Visualisasi Proses Penyelesaian

Diagram di bawah ini mengilustrasikan bagaimana persamaan kuadratik yang dihasilkan membagi bidang solusi menjadi dua domain unik untuk $x$.

Proses ini menunjukkan bahwa meskipun persamaan awal berbentuk eksponensial, transformasi aljabar yang cermat memungkinkan kita untuk mereduksinya menjadi bentuk kuadrat, yang solusinya (selama memenuhi syarat domain) akan menghasilkan jumlah solusi $x$ yang dapat dihitung secara definitif. Dalam kasus $2^{4x} - 5 \cdot 2^{2x} + 2 = 0$, terdapat dua solusi riil untuk $x$.